upuaut
14-08-2016, 06:38
Arkadaşlar, dün sahaflarda dolaşırken merakımdan bazı kitapların içlerini karıştırıyordum ve bunların birinde şöyle bir tesadüfle karşılaştım:
http://upuaut.t15.org/Pics/Metrica-Folio%2071.jpg
Bu, İskenderiyeli Heron'un Konstantinapolis'te 11-12. y.y.'da kopyalanmış "Metrica"sından alınma bir folyodur.
Bilindiği üzere, Kontantinapolis'te 1000'li yıllarda Arşimet'in "Palimpsest"i, Öklit'in "Elemanlar"ı, Heron'un "Metrica"sı ve daha birçok Grek Matematikçisinin eserleri çoğaltılıyordu ve bunlar Grekçe'de tek ve ilk kaynaklar olarak bilinir.
Şimdi, yukarıdaki folyoya dönersem; orada 2 farklı şekil, dolayısıyla Heron'un üçgenin alanına ilişkin 2 farklı ispatının mevcut olduğu anlamı çıkmaktadır. Buna göre alttaki şekil günümüzde bilinen Heron'un ispatı olarak bilinmektedir ve üstteki şekil ise, bunun devamı olarak 2. ispatı da veren şekil olarak karşımıza çıkmaktadır.
Yine Yeniden: Metrica-Folyo 71
Heron'un "Metrica"sı Konstantinapolis'te bir parçası (ki bizdeki de öyledir) Alman bilimadamı H. Schöne tarafından 1894'te keşfedilene ve 1896'da da tam bir kopyası elde edilene kadar yüzyıllardır kayıptı. Yukarıdaki folyoya benzer 71 no'lu folyonun ilk çevirisi "Heron, Metrica I, H. Schöne (Heron III), İstanbul-1896" ve ikinci çeviri de Thomas L. Heat'in "History of Greek Mathematics, Vol. 2 (http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/Heron.html)" kitabında mevcuttur.
Burada eğer Thomas L. Heat'in çevirisini ele alırsam, karınca duasını andıran yukarıdaki folyodaki alttaki şekli ve buna ilişkin ispatı biliyoruz. Yukarıdaki şekil ise hem bu şekli, dolayısıyla ispatı taşıyor, hem de alttakinden fazla çizimler nedeniyle başka bilgileri içeriyor.
Bu folyo her ne kadar karınca duası gibi andırsa da ben orada bu şekle ilişkin ne tür bilgilerin olduğuna azmettim ve çözdüm.
Heron'un 2. İspatı: Muhtemelen Pergamum'da da bir paşömen üzerine kopyası çıkarılan Metrica'nın bu bölümünü güç-bela okuyarak şu bilgilerin mevcut olduğunu gördüm:
Heron, bu ikinci ispatını ilkinden daha kolay bir şekilde ve 3 aşamada veriyor.
1. HBN üçgeninin alanı, ABC üçgeninin alanının yarısıdır:
BH.DP = BH.BN = BH.(BL+LN) = BH.BL+BH.LN = BC.OD+BH.OD = (BC+HB).OD = CH.OD
eşitliklerinden
(1) BH.DP = CH.OD
sonucu elde edilir.
Burada Heron,
(2) BH.BL = BC.OD
eşitliğine göre HBL üçgeninin alanının OBC üçgeninkine eşit olduğunu söyler (ki bu bilgi ilk ispatta da vardır).
Heron, şu eşitlikleri de tanımlamıştır:
(3) BN = DP (DP: Kirişler dörtgeni çemberindeki OD'nin uzantısı. Yani P ile N aynı doğrultudadır)
ve
(4) LN= OD (BC tabanının sol tarafındaki HBL dik üçgeninin tepesi N'ye kadar uzatılıyor ve N ile P aynı doğrultuya geliyor).
2. Heron, kirişler dörtgeni çemberindeki (alttaki çember) D noktasındaki kuvveti kirişlerin çarpımı olarak değil, benzer dik üçgenlerden şöyle vermektedir:
(5) BD:OD = DP: CD
eşitliklerinden
(6) DP.OD = BD.CD
eşitliği elde edilmektedir.
3. Şu halde (6)'da her iki taraf BH ile çarpılır,
BH.DP.OD = BH.BD.CD
ve bu eşitliğinin sol tarafında (1) kullanılırsa,
CH.OD^2 = CH.OD.OD = BH.BD.CD
eşitliklerinden
(7) CH.OD^2 = BH.BD.CD
sonucu ve bu son eşitliğin de her iki tarafı bu sefer CH ile çarpılırsa,
CH^2.OD^2 = CH.CH.OD^2 = CH.BH.BD.CD
eşitliklerinden
(8) (CH.OD)^2 = CH.BH.BD.CD
sonucu bulunmuş olur ki A(ABC) = CH.OD olduğundan,
(9) A(ABC) = √CH.BH.BD.CD
şeklinde ABC üçgeninin alanı elde edilmiş olunur.
Burada ABC üçgeninin kenarlarına ait a, b, c uzunlukları gözönüne alınırsa, u = (a+b+c)/2 için CH = u, BH = u-a, BD = u-b ve CD = u-c'dir. Dolayısıyla (9)'daki sonucu günümüzdeki gibi yazarsak (ki Heron, sadece (9) sonucunu vermiş ve ispatı orada bitirmiştir),
(10) A(ABC) = √u.(u-a).(u-b).(u-c)
şeklinde bir formül elde edilir ve buna "Heron Formülü" denir.
Fakat şu tarihi malumatı hiçbir zaman aklımızdan çıkartmamalıyız: Heron, Eski Yunan Matematiği'nde Geç Dönem temsilcilerinden biridir, dolayısıyla onun döneminde duraklama dönemine girildi ve Bizans İmparatorluğu döneminde de hayat alevi İstanbul'da söndü; ancak o ruh hala İstanbul'da yaşıyor!
http://upuaut.t15.org/Pics/Metrica-Folio%2071.jpg
Bu, İskenderiyeli Heron'un Konstantinapolis'te 11-12. y.y.'da kopyalanmış "Metrica"sından alınma bir folyodur.
Bilindiği üzere, Kontantinapolis'te 1000'li yıllarda Arşimet'in "Palimpsest"i, Öklit'in "Elemanlar"ı, Heron'un "Metrica"sı ve daha birçok Grek Matematikçisinin eserleri çoğaltılıyordu ve bunlar Grekçe'de tek ve ilk kaynaklar olarak bilinir.
Şimdi, yukarıdaki folyoya dönersem; orada 2 farklı şekil, dolayısıyla Heron'un üçgenin alanına ilişkin 2 farklı ispatının mevcut olduğu anlamı çıkmaktadır. Buna göre alttaki şekil günümüzde bilinen Heron'un ispatı olarak bilinmektedir ve üstteki şekil ise, bunun devamı olarak 2. ispatı da veren şekil olarak karşımıza çıkmaktadır.
Yine Yeniden: Metrica-Folyo 71
Heron'un "Metrica"sı Konstantinapolis'te bir parçası (ki bizdeki de öyledir) Alman bilimadamı H. Schöne tarafından 1894'te keşfedilene ve 1896'da da tam bir kopyası elde edilene kadar yüzyıllardır kayıptı. Yukarıdaki folyoya benzer 71 no'lu folyonun ilk çevirisi "Heron, Metrica I, H. Schöne (Heron III), İstanbul-1896" ve ikinci çeviri de Thomas L. Heat'in "History of Greek Mathematics, Vol. 2 (http://galileoandeinstein.physics.virginia.edu/more_stuff/Heron.html)" kitabında mevcuttur.
Burada eğer Thomas L. Heat'in çevirisini ele alırsam, karınca duasını andıran yukarıdaki folyodaki alttaki şekli ve buna ilişkin ispatı biliyoruz. Yukarıdaki şekil ise hem bu şekli, dolayısıyla ispatı taşıyor, hem de alttakinden fazla çizimler nedeniyle başka bilgileri içeriyor.
Bu folyo her ne kadar karınca duası gibi andırsa da ben orada bu şekle ilişkin ne tür bilgilerin olduğuna azmettim ve çözdüm.
Heron'un 2. İspatı: Muhtemelen Pergamum'da da bir paşömen üzerine kopyası çıkarılan Metrica'nın bu bölümünü güç-bela okuyarak şu bilgilerin mevcut olduğunu gördüm:
Heron, bu ikinci ispatını ilkinden daha kolay bir şekilde ve 3 aşamada veriyor.
1. HBN üçgeninin alanı, ABC üçgeninin alanının yarısıdır:
BH.DP = BH.BN = BH.(BL+LN) = BH.BL+BH.LN = BC.OD+BH.OD = (BC+HB).OD = CH.OD
eşitliklerinden
(1) BH.DP = CH.OD
sonucu elde edilir.
Burada Heron,
(2) BH.BL = BC.OD
eşitliğine göre HBL üçgeninin alanının OBC üçgeninkine eşit olduğunu söyler (ki bu bilgi ilk ispatta da vardır).
Heron, şu eşitlikleri de tanımlamıştır:
(3) BN = DP (DP: Kirişler dörtgeni çemberindeki OD'nin uzantısı. Yani P ile N aynı doğrultudadır)
ve
(4) LN= OD (BC tabanının sol tarafındaki HBL dik üçgeninin tepesi N'ye kadar uzatılıyor ve N ile P aynı doğrultuya geliyor).
2. Heron, kirişler dörtgeni çemberindeki (alttaki çember) D noktasındaki kuvveti kirişlerin çarpımı olarak değil, benzer dik üçgenlerden şöyle vermektedir:
(5) BD:OD = DP: CD
eşitliklerinden
(6) DP.OD = BD.CD
eşitliği elde edilmektedir.
3. Şu halde (6)'da her iki taraf BH ile çarpılır,
BH.DP.OD = BH.BD.CD
ve bu eşitliğinin sol tarafında (1) kullanılırsa,
CH.OD^2 = CH.OD.OD = BH.BD.CD
eşitliklerinden
(7) CH.OD^2 = BH.BD.CD
sonucu ve bu son eşitliğin de her iki tarafı bu sefer CH ile çarpılırsa,
CH^2.OD^2 = CH.CH.OD^2 = CH.BH.BD.CD
eşitliklerinden
(8) (CH.OD)^2 = CH.BH.BD.CD
sonucu bulunmuş olur ki A(ABC) = CH.OD olduğundan,
(9) A(ABC) = √CH.BH.BD.CD
şeklinde ABC üçgeninin alanı elde edilmiş olunur.
Burada ABC üçgeninin kenarlarına ait a, b, c uzunlukları gözönüne alınırsa, u = (a+b+c)/2 için CH = u, BH = u-a, BD = u-b ve CD = u-c'dir. Dolayısıyla (9)'daki sonucu günümüzdeki gibi yazarsak (ki Heron, sadece (9) sonucunu vermiş ve ispatı orada bitirmiştir),
(10) A(ABC) = √u.(u-a).(u-b).(u-c)
şeklinde bir formül elde edilir ve buna "Heron Formülü" denir.
Fakat şu tarihi malumatı hiçbir zaman aklımızdan çıkartmamalıyız: Heron, Eski Yunan Matematiği'nde Geç Dönem temsilcilerinden biridir, dolayısıyla onun döneminde duraklama dönemine girildi ve Bizans İmparatorluğu döneminde de hayat alevi İstanbul'da söndü; ancak o ruh hala İstanbul'da yaşıyor!