1/0 - Bir Bölü Sıfır Tanımsızlığı

[AerA]

Değerli forum Üyeleri ;

1/0=Sonsuz mudur? Buradan bir Tanrı çıkarımı yapılabilir mi? İslam forumumuzda bir konuda yapılmıştı...

• İlk örneğimiz Utah Üniversitesi Matematik Bölümünden : LİNK

Neden Sıfıra Bölemeyiz isimli makale Utah Üniversitesinden Peter Alfeld tarafından yazılmıştır.

Niçin Sıfıra Bölemeyiz?

Sıfıra bölümün tanımsız olmasındaki neden, her girişimin çelişkiye düşmesidir demiş ve açıklamasını çok basit matematiksel işlemler ile vermiştir. Bu ispatı algılamak için Matematik dehası olmaya gerek yoktur.

Açıklamadan da görüleceği üzere herhangi bir sayıyı sıfıra bölerseniz elde ettiğiniz sonucu sıfırla çarptığınızda, bölmeye uğraştığınız sayıya geri ulaşamazsınız. Yani basitçe 1/0=A gibi bir sonuç olsa idi, 0xA=1 olmalıdır. Lakin Matematiksel bir kural olarak sıfır yutan elemandır ve sıfır ile hiç bir şeyi çarparak sonuçta “1” elde edemezsiniz.

Gelelim asıl argümana; 1/0=sonsuz bir değerde olsa idi, 0xsonsuz=1 olmalı idi, lakin matematikteki bilinen belirsizliklerin en başında “0xsonsuz” belirsizliği gelmiyor mu? Bunun sebebi yapmaya çalıştığınız işlemin (a/0) matematikde tanımlanmamış bir işlem olmasıdır.

Bu değerin sonsuz olmayacağına bir başka kanıt yine Peter Alfeld’den linkini verdiğim yerden gelmiş. Sonsuz=Sonsuz+1=Sonsuz+2…. ise, 1=2 olmalıdır ve bu ne yazık ki imkansızdır.

• Bir başka can alıcı açıklama, Matematik Bölümü öğrencilerinin kullandığı bir program olan Wolfram Mathematica offical sitesinden: LİNK

Yukarıdaki metin Derbyshire, J. Prime Obsession: Bernhard Riemann and the Greatest Unsolved Problem in Mathematics. New York: Penguin, 2004 isimli kitaptan aktarılmıştır. Sitenin altında referanslar bölümünde yazmakta.

“Bölmenin tersi ile sağlaması yapılamadığından sıfıra bölünme işlemi tanımsızdır” diyen yazar “bilgisayar yazılımlarında (hesap makineleri) bu denemenin hata mesajı ile karşılandığını” ayrıca belirtmiş. Ayrıca "Division by zero is undefined for real numbers" diyerek sıfıra bölme işleminin tanımsız olduğu vurgulanmış.

Üstelik resimdekinin haricinde bir alt paragraf incelenirse : "What happens if I do divide by zero” (Sıfıra bölersek ne olur) sorusu sorulmuş ve aynı eserin 36. sayfasında "You can't. It's against the rules." (Yapamazsınız. Bu yasalara (Matematik Yasaları) aykırıdır) cevabı verilmiştir.

• Amerika Enerji Bakanlığı kendi halkını eğitmeyi kendine bir misyon edinmiş olsa gerek. Amerika Enerji Bakanlığı resmi sitesinden, Oklahoma State Universitesi – Bob Avakian konuyu incelemiş : LİNK

Link incelenirse sorulan soruya verilen en alttaki cevap olduğu görülecektir.

Daha ilk cümlede sıfıra bölünmenin tanımsız olduğu belirtilmiştir. 6. Paragraf 1/x değeri için x sıfıra yaklaştıkça, sonucun sonsuza yaklaştığını söylemekdan bahsedilmiş ve eğer x=0 noktasına ulaşılırsa cevabın tanımsızlığa dönüştüğü açıklanmış. Son paragrafta ise bunun Matematik 1 öğrencileri için ise algılanması zor bir konu olduğu ayrıca bildirilmiş.

• West Texas A&M University (www.wtamu.edu) online bir eğitim programı hazırlamış : LİNK

After completing this tutorial, you should be able to: (Bu dersi tamamladığınız zaman)

1. Find the reciprocal of a number.
2. Multiply positive and negative numbers.
3. Divide positive and negative numbers.
4. Multiply by zero.
5. Know that dividing by zero is undefined. (Sıfıra bölmenin tanımsız olduğunu bileceksiniz.)

Bu sayfa ile ilgili resim koymuyorum çünkü ilk cümlesinde “Bu dersi tamamladığınız zaman sıfıra bölme işleminin tanımsız olduğunuz öğreneceksiniz” demişler. Lakin merak ederseniz sırasıyla basit adımları takip edebilirsiniz.

Gelelim zurnanın zırt dediği yere;

Bu forum alanında 1/0=Sonsuz diyerek "Tanrının Varlığına" ulaşmaya çalışacak her üyeye hatırlatmak isterim ki, ulaşılacak o Tanrının "Tuvalet Kağıdı" kadar değeri yoktur. Çünkü 1/0 hiçbir zaman sonsuz değildir...

Esen Kalınız

[taylan]

Sayın Aera bilgilendirici yazınız için teşekkürler.

[Termo]

E-okul gibi site yahu Ellerinize sağlık.

[İvan Karamazov]

sevgili aera;

matematikte "belirsizlik" ile "tanımsızlık" birbirinden farklı kavramlar. ingilizce'de bu terimlerin karşılığı olarak: belirsizlik için "inderminate" kelimesi, tanımsızlık için "undefined" kelimesi kullanılıyor. bu durumda 0/0 belirsiz olurken; (x, sıfırdan farklıyken) x/0 tanımsız oluyor. yani 1/0 belirsiz değil, tanımsız.

[AerA]

İvan Karamazov´isimli üyeden Alıntı

sevgili aera;

matematikte "belirsizlik" ile "tanımsızlık" birbirinden farklı kavramlar. ingilizce'de bu terimlerin karşılığı olarak: belirsizlik için "inderminate" kelimesi, tanımsızlık için "undefined" kelimesi kullanılıyor. bu durumda 0/0 belirsiz olurken; (x, sıfırdan farklıyken) x/0 tanımsız oluyor. yani 1/0 belirsiz değil, tanımsız.

Değerli İvan Karamazov ;

Elbetteki doğrudur. Bu iki farkın, farkını buraya yazmaya üşendim açıksası. Çünkü cidden ciltler tutar. Tanımsız bir işlemin sağlamasını yapmaya kalkarsanız belirsizliğe ulaşırsınız ya (x/0=sonsuz ise, 0*sonsuz=x değil belirsizdir.) temelde onu verebildiysek ne mutlu... Ama başlığı yanlış yazmışım, hemen değiştiriyorum.

Esen Kalınız

[İvan Karamazov]

aslında çok basit ve anlaşılır şeyler bunlar, ciltlere gerek yok. ben hemen açıklayayım...

önce tanımsızlık: x, sıfırdan farklı olsun. x/0=r diyelim. x/0=r olduğundan x=0*r olmak zorundadır. yani öyle bir r sayısı bulmalıyız ki: bu r sayısını sıfırla çarpalım ve sonuç da x olsun(dikkat! x, sıfırdan farklı olsun demiştik). böyle bir r sayısının varlığı çarpmanın tanımıyla (birinci madde) çeliştiğinden demek ki x/0=r deme hakkına sahip olmamalıyız. yani bu tür bir r sayısı tanımlı değildir.

şimdi de aynı şeyi x=0 durumu için düşünelim. 0/0=r olsun... buradan 0=0*r diyebileceğimiz çok açıktır. r yerine hangi sayının geleceğini bir düşünürsek: r için hangi sayıyı alırsak alalım işlem doğru oluyor. yani tanımlanmış her r sayısı, işlemi sağlıyor. 0=0*3, 0=0*12, vs. demek ki elimizdeki problem durumuna göre sonuç değişiyor olmalı. bir başka ifadeyle: 0/0'ın ne olduğu, problem karşımıza çıkmadan belli olmamakta, yani belirsiz... hemen bu farklı problem durumlarına örnek verelim:

x=7 değeri için (x^2-49)/(x-7) ifadesinin sonucu 0/0 olacaktır. fakat biz (x^2-49)=(x-7)(x+7) olduğunu bildiğimizden dolayı: (x^2-49)/(x-7)=(x-7)(x+7)/(x-7)=(x+7)=7+7=14 yani bu problem durumumuz için 0=14*0 kullanılıyor olduğu çok açık...

bir başka problem durumunu ele alalım ve x=5 iken (x^2-25)/(x-5)'i inceleyelim. bu problem için de gerekli işlemlerden sonra (x+5)=5+5=10 çıkacaktır. burada da 0=0*10 kullanılıyor olduğu çok açıktır. qed

[AerA]

İvan Karamazov´isimli üyeden Alıntı

aslında çok basit ve anlaşılır şeyler bunlar, ciltlere gerek yok. ben hemen açıklayayım...

önce tanımsızlık: x, sıfırdan farklı olsun. x/0=r diyelim. x/0=r olduğundan x=0*r olmak zorundadır. yani öyle bir r sayısı bulmalıyız ki: bu r sayısını sıfırla çarpalım ve sonuç da x olsun(dikkat! x, sıfırdan farklı olsun demiştik). böyle bir r sayısının varlığı çarpmanın tanımıyla (birinci madde) çeliştiğinden demek ki x/0=r deme hakkına sahip olmamalıyız. yani bu tür bir r sayısı tanımlı değildir.

şimdi de aynı şeyi x=0 durumu için düşünelim. 0/0=r olsun... buradan 0=0*r diyebileceğimiz çok açıktır. r yerine hangi sayının geleceğini bir düşünürsek: r için hangi sayıyı alırsak alalım işlem doğru oluyor. yani tanımlanmış her r sayısı, işlemi sağlıyor. 0=0*3, 0=0*12, vs. demek ki elimizdeki problem durumuna göre sonuç değişiyor olmalı. bir başka ifadeyle: 0/0'ın ne olduğu, problem karşımıza çıkmadan belli olmamakta, yani belirsiz... hemen bu farklı problem durumlarına örnek verelim:

x=7 değeri için (x^2-49)/(x-7) ifadesinin sonucu 0/0 olacaktır. fakat biz (x^2-49)=(x-7)(x+7) olduğunu bildiğimizden dolayı: (x^2-49)/(x-7)=(x-7)(x+7)/(x-7)=(x+7)=7+7=14 yani bu problem durumumuz için 0=14*0 kullanılıyor olduğu çok açık...

bir başka problem durumunu ele alalım ve x=5 iken (x^2-25)/(x-5)'i inceleyelim. bu problem için de gerekli işlemlerden sonra (x+5)=5+5=10 çıkacaktır. burada da 0=0*10 kullanılıyor olduğu çok açıktır. qed

Basit bir izahat olmuş, hoşuma gitti

[ulpian]

İvan Karamazov´isimli üyeden Alıntı

aslında çok basit ve anlaşılır şeyler bunlar, ciltlere gerek yok. ben hemen açıklayayım...

önce tanımsızlık: x, sıfırdan farklı olsun. x/0=r diyelim. x/0=r olduğundan x=0*r olmak zorundadır. yani öyle bir r sayısı bulmalıyız ki: bu r sayısını sıfırla çarpalım ve sonuç da x olsun(dikkat! x, sıfırdan farklı olsun demiştik). böyle bir r sayısının varlığı çarpmanın tanımıyla (birinci madde) çeliştiğinden demek ki x/0=r deme hakkına sahip olmamalıyız. yani bu tür bir r sayısı tanımlı değildir.

şimdi de aynı şeyi x=0 durumu için düşünelim. 0/0=r olsun... buradan 0=0*r diyebileceğimiz çok açıktır. r yerine hangi sayının geleceğini bir düşünürsek: r için hangi sayıyı alırsak alalım işlem doğru oluyor. yani tanımlanmış her r sayısı, işlemi sağlıyor. 0=0*3, 0=0*12, vs. demek ki elimizdeki problem durumuna göre sonuç değişiyor olmalı. bir başka ifadeyle: 0/0'ın ne olduğu, problem karşımıza çıkmadan belli olmamakta, yani belirsiz... hemen bu farklı problem durumlarına örnek verelim:

x=7 değeri için (x^2-49)/(x-7) ifadesinin sonucu 0/0 olacaktır. fakat biz (x^2-49)=(x-7)(x+7) olduğunu bildiğimizden dolayı: (x^2-49)/(x-7)=(x-7)(x+7)/(x-7)=(x+7)=7+7=14 yani bu problem durumumuz için 0=14*0 kullanılıyor olduğu çok açık...

bir başka problem durumunu ele alalım ve x=5 iken (x^2-25)/(x-5)'i inceleyelim. bu problem için de gerekli işlemlerden sonra (x+5)=5+5=10 çıkacaktır. burada da 0=0*10 kullanılıyor olduğu çok açıktır. qed

Sevgili İvan,

öğrencilerin çok şanslı, umarım biliyorlardır kıymetini...

Bir sorum olacak:

''i^2=-1'' ve ''karekökü -1=i'' diyerek bir tanım getirilebiliyor ve getirilen bu i tanımıyla çalışılabiliyor.

Aynı şekilde mesela;
''ü*0=1'' ve ''1/0=ü'' şeklinde bir tanım neden getirilemez veya getirilmesinin neden bir faydası olmaz?


Elbette, sıfırla çarpınca 1 çıkacak hiçbir gerçek sayı düşünemiyorum. Fakat aynı şekilde kendisiyle çarptığımda -1 çıkacak gerçek bir sayı da düşünemiyorum. Ama yine de yapıyor ve o 'sayıya' i diyoruz. İlk bakışta çok anlamsız, hiçbir karşılığı olmayan, absürt bir hayal mahsülü gibi dursa da bu işlem, neticede sadece matematikte kullanılmıyor, akıl almaz bir şekilde (yani en azından benim aklım almıyor ), fizikte, gerçekliğin daha iyi betimlenmesine de büyük katkısı oluyor. Sıfıra bölmek işlemi için de, buna benzer bir tanım getirilmesi ilkesel olarak mı mümkün değil, yoksa mümkün (neticede adı üstünde: tanım), fakat faydasız mı?

[Halayoz]

AerA´isimli üyeden Alıntı

Gelelim asıl argümana; 1/0=sonsuz bir değerde olsa idi, 0xsonsuz=1 olmalı idi, lakin matematikteki bilinen belirsizliklerin en başında “0xsonsuz” belirsizliği gelmiyor mu? Bunun sebebi yapmaya çalıştığınız işlemin (a/0) matematikde tanımlanmamış bir işlem olmasıdır.

Doğrudan asıl argümanınıza gelelim:

1/0=sonsuz olsa idi; 0xsonsuz=1 olmak zorunda değildir.

"İçler dışlar çarpımı yapabilmenizin matematik tanımı, eşitliğin her iki tarafını aynı sayı ile çarpmaktır".

1/0 = sonsuz eşitliğini , 0xsonsuz=1 ya da 1=sonsuz*0 haline getirebilmeniz için, yani 0'ı eşitliğin diğer tarafına atabilmeniz için şu işlemi yapmalısınız:

(1/0)*0 = sonsuz *0

sağ tarafı doğru hesaplıyorsunuz, ancak eşitliğin solundaki değer sadeleşmiyor. çünkü 0/0 ifadesi matematik belirsizliktir ve 1'e eşit değildir.

detaylı bilgi için bakınız google: "matematik eşitliklerde içler dışlar çarpımı yapmanın şartları"...


Eğer dediğiniz gibi olsaydı, yani 0 sayısı sadeleşebiliyor olsaydı, o zaman 1=2 yazabilirdiniz:

değerli forum üyeleri, bu komik eşitliği siz de yapabilirsiniz:

*** a=b

her iki tarafı b ile çarpıyoruz

*** axb = b^2

her iki taraftan a^2 çıkartıyoruz:

*** axb - a^2 = b^2 - a^2

şimdi sol tarafı a parantezine alıyoruz, sağ tarafı (a-b) ve (a+b) olarak çarpanlarına ayırıyoruz:

*** a(b-a) = (b-a) ( b+a)

eşitliğin her iki tarafını ,her iki tarafta bulunan (b-a) ifadesine bölelim.

*** a= b+a şeklinde sadeleşir.

a= b olduğundan , yerine yazalım:

*** a= a+a

buradan a'ları sadeleştirelim:

*** 1 = 2

bu hata nereden kaynaklandı?

yukarıdaki işlemde , eşitliğin her iki yanındaki (b-a) ifadesini (b-a) ifadesine bölüp 1 dememizden kaynaklandı. halbuli b-a=0 olduğundan, 0/0 belirsiz olduğundan sadeleşmez.

[İvan Karamazov]

ulpian´isimli üyeden Alıntı

Bir sorum olacak:

''i^2=-1'' ve ''karekökü -1=i'' diyerek bir tanım getirilebiliyor ve getirilen bu i tanımıyla çalışılabiliyor.

Aynı şekilde mesela;
''ü*0=1'' ve ''1/0=ü'' şeklinde bir tanım neden getirilemez veya getirilmesinin neden bir faydası olmaz?

önce russell ile ilgili bir anekdot paylaşayım sonra da bu konuya geçeyim. matematik biliyorsun ki çelişkilere düşman. russell da dahil neredeyse her matematikçi, çelişkili bir sistemde, mantıken, istenilen her şeyi ispatlayabileceğimize inanıyor. mesela 1=2 olduğunu ispatlayabilirsek; istediğimiz her şeyi de ispatlayabiliriz diye düşünüyorlar. russell, bir gün bir ortamda bu iddiada bulununca, biri russell ile dalga geçmek için: "1=2 olduğundan yola çıkarak bana papa olduğunuzu ispatlayabilir misiniz?" diye soruyor. sonra şöyle devam ediyor diyalog:

- gayet tabi... düşün ki: bir odada papa ve ben varız. odada kaç kişiyiz?
- (adam bir anlık gaflete düşüp) e iki kişisiniz tabi ki...
- ama 2=1 demiştik, o halde odadaki papa ben olmalıyım.

e zeki adam haliyle... bak şimdi sana 0*ü=1 dersek neler oluyor göstereyim:

0*ü=1 olsun. o halde: 2*(0*ü)=2*1=2 olmalı... çarpma işleminin birleşme özelliği vardır (mesela: 2*(3*5)=(2*3)*5 gibi...). 2*(0*ü)=2 ise (2*0)*ü=2 olacaktır. 2*0=0 olduğundan, en son ulaştığımız ifadede (2*0) yerine 0 yazarsaak... 0*ü=2 çıkar... fakat 0*ü=1 demiştik o halde 2=1, yani: russell gerçekten papa!

fakat "kök(-1)=i olsun" gibi bir tanım getirince, 1=2 gibi bir sonuca ulaşmıyoruz(çok sorgulamıyorsak!). matematiksel bir anlamı olmuş oluyor yani bu yaklaşımın. ayrıca karmaşık sayıların tanımı da "kök(-1)=i" olsun şeklinde başlamıyor. "kök(-1)=i", tanımdan yola çıkarak ulaştığımız bir sonuç. karmaşık sayıların matematiksel temeline şuradan bakabilirsin. aslında, karmaşık sayıları kullanırken (a,b) ile a+ib demenin birbirine denk olduğunu gösterdikten sonra ulaşıyoruz kök(-1)=i sonucuna. verdiğim linkte çarpma işlemi şöyle tanımlı: (a,b)*(c,d)=(ac-bd,bc+ad). bu çarpma tanımı üzerinde: a=c=0 ve b=d=1 alırsak: (0,1)*(0,1)=(-1,0) çıkıyor... biz (a,b) demek ile a+ib demek arasında bir fark olmadığını biliyoruz(bunu izomorfizm(eşyapılılık) sayesinde kanıtlayabiliyoruz). eğer (a,b) ile a+ib arasında fark yoksa, a=0 ve b=1 alırsak: (0,1) ile "i" arasında; benzer şekilde (-1,0) ile -1 arasında da bir fark olmamalı... buradan da: (0,1)*(0,1)=(-1,0) ile i*i=-1 arasında da bir fark olmamalı. en son ulaştığımız ifadeyi kullanarak da kök(-1)=i sonucuna ulaşmak çocuk oyucağı! sanırım "kök(-1)=i"nin tanımdan ziyade sonuç olduğu daha açık oldu şimdi..."kök(-1)=i"ye tanım demek, benim de -erindiğimden- sık başvurduğum bir hata... karmaşık sayıların (a,b) ile yapılan tanımı sonradan getirilen bir tanım. bu tanım yapılmazdan önce (18. yy dolayları) "kök(-1)=i" olsun gibi kullanılıyordu fakat bu yaklaşımın sonlarına doğru "kök(-1)=i" olsun kabulünün 1=2 çelişkisi yarattığı farkedilince(!) sorgulanmaya başlıyor karmaşık sayıların temeli. en makul çözüm de (a,b) ile yapılan tanım sayesinde getiriliyor. böylece aslında anlamış oluyoruz: ta en başından beri ortada hiç çelişki olmadığını. meğer rahat rahat kök(-1)=i diyebilirmişiz!

nerelere geldim(bir dokun bin ah işit!)... neyse. 0*ü=1 demek, bizi, 1=2 gibi bir sonuca ulaştırdığından 0*ü=1 gibi bir "ü" sayısı yaratmak, matematiksel açıdan anlamsız oluyor. bunu illa da yapmak için çarpmanın herkes tarafından kullanılan tanımı değiştirilebilir belki. ancak, o zaman: "0 çarpı ü eşittir 1" derken, herkesin kulllandığı çarpmadan çok daha farklı bir işlem tanımlamış oluruz ve "0 çarpı ü"deki çarpı, sadece sözde kalmış olur.